Question

设函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ≤π）的图象如图所示．
（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）设△ABC的内角A，B，C，所对的边分别为a，b，c，若a≥b=

3

，f（

B

2

）=

6 + 2

2

，求△ABC周长的最大值．

Answer 1

考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式

专题：三角函数的图像与性质,解三角形

分析：（Ⅰ）根据三角函数的图象，求出f（x）的解析式；
（Ⅱ）由f（

B

2

）求出B的值，根据三角函数的恒等变换，结合正弦、余弦定理，求出△ABC周长l的表达式，求出l的最大值．

解答： 解：（Ⅰ）根据题意得，
A=2，

T

2

=

5π

8

-

π

8

=

π

2

，
∴T=π；
即

2π

ω

=π，
∴ω=2；
令ωx+φ=2×

π

8

+φ=

π

2

，
解得φ=

π

4

，
∴f（x）=2sin（2x+

π

4

π）；
（Ⅱ）∵f（

B

2

）=2sin（B+

π

4

）=

6 + 2

2

，
∴sin（B+

π

4

）=

6 + 2

4

；
又在△ABC中，a≥b=

3

，∴0＜B＜

π

2

，
∴

π

4

＜B+

π

4

＜

3π

4

，
∴B+

π

4

=

7π

12

，或B+

π

4

=

5π

12

；
∴B=

π

3

，或

π

6

；
当B=

π

3

时，由正弦定理得，

a

sinA

=

c

sinC

=

b

sinB

=

3

3 2

=2，
∴a=2sinA，b=2sinC，
∴△ABC周长是l=a+b+c=

3

+2sinA+2sinC
=

3

+2sinA+2sin（

2π

3

-A）
=

3

+3sinA+

3

cosA
=

3

+2

3

sin（A+θ）≤

3

+2

3

=3

3

，其中tanθ=

3

3

，
∴当A=

π

3

时周长取最大值；
当B=

π

6

时，由正弦定理得，

a

sinA

=

c

sinC

=

b

sinB

=

3

1 2

=2

3

，
∴a=2

3

sinA，b=2

3

sinC，
∴△ABC周长是l=a+b+c=

3

+2

3

sinA+2

3

sinC
=

3

+2

3

sinA+2

3

sin（

5π

6

-A）
=

3

+（2

3

-3）sinA-

3

cosA
=

3

-

15-12 3

sin（A+θ），tanθ=

3

2 3 -3

=2+

3

；
∴θ=

5π

12

，当A=

π

6

时，周长取得最大值

3

+

3

+

3

•

3

=2

3

+3；
综上，B=

π

3

时，△ABC周长的最大值是3

3

，B=

π

6

时，△ABC周长的最大值是2

3

+3．

点评：本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题，也考查了解三角形的应用问题，解题时应灵活应用三角函数的综合知识，是较难的题目．