Question

△ABC中，锐角A满足sin⁴A-cos⁴A≤sinA-cosA，则（　　）

• A、0＜A≤

  π

  6

• B、0＜A≤

  π

  4

• C、

  π

  6

  ≤A≤

  π

  4

• D、

  π

  4

  ≤A≤

  π

  3

Answer 1

考点：三角函数的化简求值

专题：三角函数的求值

分析：原不等式转化为：sin²A-cos²A=（sinA-cosA）（sinA+cosA）≤sinA-cosA，依题意，可求得sinA+cosA∈（1，

2

]，继而可得sinA-cosA≤0，于是可得答案．

解答： 解：∵sin⁴A-cos⁴A=（sin²A-cos²A）（sin²A+cos²A）=sin²A-cos²A，
∴原不等式转化为：sin²A-cos²A=（sinA-cosA）（sinA+cosA）≤sinA-cosA，
∴（sinA-cosA）[（sinA+cosA）-1]≤0．
又A∈（0，

π

2

），A+

π

4

∈（

π

4

，

3π

4

），
∴sinA+cosA=

2

sin（A+

π

4

）∈（1，

2

]，
∴sinA+cosA-1≥0，
∴sinA-cosA≤0，
∴0＜A≤

π

4

．
故选：B．

点评：本题考查三角函数的化简求值，考察因式分解与辅助角公式的应用，求得sinA+cosA∈（1，

2

]是关键，考查运算求解能力，是中档题．