Question

已知数列f（x）=log_kx（k为常数，k＞0且k≠1），且数列{f（a_n）} 首项为a，公差为d的等差数列，且满足不等式|a-4|+|d-2|≤0；
（1）求数列{a_n}的通项a_n；
（2）若b_n=a_n•f（a_n），当k=

3

时，求数列{b_n}的前n项和S_n．
（3）若C_n=a_nlga_n，问是否存在实数k，使得{C_n}中每一项恒小于它后面的项？若存在，求出k的取值范围，若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：数列的应用

专题：综合题,等差数列与等比数列

分析：（1）由已知可得f（a_n）=2n+2=log_ka_n，a_n=k²ⁿ⁺²；
（2）当k=

3

时，b_n=（2n+2）•3ⁿ⁺¹，利用“乘公比错位相减”求和；
（3）由（1）可知c_n=（2n+2）•k²ⁿ⁺²lgk，若使得{c_n}中的每一项恒小于它后面的项⇒c_n＜c_n+1⇒（n+1）lgk＜（n+2）•k²•lgk对一切n∈N^*成立，分①lgk＞0②lgk＜0讨论求解．

解答： 解：（1）由题意，a=4，d=2，
∴f（a_n）=4+（n-1）×2=2n+2，即log_ka_n=2n+2，
∴a_n=k²ⁿ⁺²；
（2）由（1）知，b_n=a_nf（a_n）=k²ⁿ⁺²•（2n+2），
当k=

3

时，b_n=（2n+2）•3ⁿ⁺¹．
∴S_n=4•3²+6•3³+…+（2n+2）•3ⁿ⁺¹，①
3S_n=4•3³+6•3⁴+…+2n•3ⁿ⁺¹+（2n+2）•3ⁿ⁺²．②
②-①，得S_n=

(2n+1)•3n+2-9

2

；
（3）由（1）知，c_n=a_nlga_n=（2n+2）•k²ⁿ⁺²lgk，要使c_n＜c_n+1对一切n∈N^*成立，
即（n+1）lgk＜（n+2）•k²•lgk对一切n∈N^*成立．
①当k＞1时，lgk＞0，n+1＜（n+2）k²对一切n∈N^*恒成立；
②当0＜k＜1时，lgk＜0，n+1＞（n+2）k²对一切n∈N^*恒成立，只需k²＜(

n+1

n+2

)min，
∵

n+1

n+2

=1-

1

n+2

单调递增，
∴当n=1时，(

n+1

n+2

)min=

2

3

，
∴k²＜

2

3

，且0＜k＜1，
∴0＜k＜

6

3

．
综上所述，存在实数k∈（0，

6

3

）∪（1，+∞）满足条件．

点评：本题综合考查数列的基本知识、方法和运算能力，渗透了函数的知识，以及分类讨论和化归、转化的思想方法、．错位相减法是数列求和的一种重要方法，学习中要引起重视．