Question

设x₁，x₂是实系数一元二次方程ax²+bx+c=0的根，若x₁是虚数，

x 2 1

x2

是实数，则s=1+

x1

x2

+（

x1

x2

）²+…+（

x1

x2

）²⁰¹²=

 

．

Answer 1

考点：复数代数形式的混合运算

专题：数系的扩充和复数

分析：根据实系数二次方程的虚根成对出现，设x₁=x+yi（x、y∈R且y≠0）、x₂=x-yi，根据分母实数化简

x 2 1

x2

，令实部为零求出x与y的关系，把它代入根据分母实数化简后

x1

x2

的式子，同理依次求出(

x1

x2

)2、(

x1

x2

)2等，求出它们的周期，再求出s的值．

解答： 解：由题意设x₁=x+yi（x、y∈R且y≠0），
因为x₁，x₂是实系数一元二次方程ax²+bx+c=0的根，则x₂=x-yi（x、y∈R），
所以

x 2 1

x2

=

(x+yi)2

x-yi

=

(x2-y2+2xyi)(x+yi)

x2+y2

∈R，
所以y（x²-y²）+2yx²=0，
因为y≠0，所以x²-y²+2x²=0，即y²=3x²，则y=±

3

x，
不妨设y=

3

x，
所以

x1

x2

=

x+yi

x-yi

=

(x+yi)2

x2+y2

=

x2-y2+2xyi

x2+y2

=

-1+ 3 i

2

，
则(

x1

x2

)2=

-2-2 3 i

4

=

-1- 3 i

2

，(

x1

x2

)3=

-1- 3 i

2

×

-1+ 3 i

2

=

1+3

4

=1，(

x1

x2

)4=

-1+ 3 i

2

，…，
所以1、

x1

x2

、（

x1

x2

）²、(

x1

x2

)3、…按周期为3循环，
则s=1+

x1

x2

+（

x1

x2

）²+…+（

x1

x2

）²⁰¹²=（1+

-1+ 3 i

2

+

-1- 3 i

2

）×671=0，
故答案为：0．

点评：本题考查复数代数形式的混合运算，实数的条件，以及利用周期性求和，考查化简计算能力．