Question

已知函数f（x）=x²+mx+2在（-∞，1）上是减函数，在（1，+∞）上是增函数，求实数m的值，并根据所求的m的值求函数在（-∞，+∞）上的最值．

Answer 1

考点：二次函数的性质,函数的最值及其几何意义

专题：函数的性质及应用

分析：由函数f（x）=x²+mx+2在（-∞，1）上是减函数，在（1，+∞）上是增函数，可得：函数f（x）=x²+mx+2的图象关于直线x=1对称，进而根据二次函数的图象和性质，可得函数f（x）的最小值为1．

解答： 解：函数f（x）=x²+mx+2在（-∞，1）上是减函数，在（1，+∞）上是增函数，
故函数f（x）=x²+mx+2的图象关于直线x=1对称，
即-

m

2

=1，
解得m=-2，
故f（x）=x²-2x+2=（x-1）²+1，
故当x=1时，函数f（x）取最小值1．

点评：本题考查的知识点是二次函数的性质，函数的最值及其几何意义，熟练掌握二次函数的图象和性质是解答的关键．