Question

18．已知${log_{\frac{1}{2}}}$（x+y+4）＜${log_{\frac{1}{2}}}$（3x+y-2），若x-y＜λ+$\frac{9}{λ}$恒成立，则λ的取值范围是（　　）

• A． （-∞，1）∪（9，+∞）
• B． （1，9）
• C． （0，1）∪（9，+∞）
• D． （0，1]∪[9，+∞）

Answer 1

分析 根据已知得出x，y的约束条件$\left\{\begin{array}{l}{x+y+4＞0}\\{3x+y-2＞0}\\{x+y+4＞3x+y-2}\end{array}\right.$，画出满足约束条件的可行域，再用角点法，求出目标函数z=x-y的最大值，再根据最值给出λ的求值范围．

解答 解：由题意得x，y的约束条件$\left\{\begin{array}{l}{x+y+4＞0}\\{3x+y-2＞0}\\{x+y+4＞3x+y-2}\end{array}\right.$．
画出不等式组$\left\{\begin{array}{l}{x+y+4＞0}\\{3x+y-2＞0\\;}\\{x＜3}\end{array}\right.$表示的可行域如下图示：
在可行域内平移直线z=x-y，
当直线经过3x+y-2=0与x=3的交点A（3，-7）时，
目标函数z=x-y有最大值z=3+7=10．
x-y＜λ+$\frac{9}{λ}$恒成立，即：λ+$\frac{9}{λ}$≥10，
即：$\frac{{λ}^{2}-10λ+9}{λ}≥0$．
解得：λ∈（0，1]∪[9，+∞）
故选：D．

点评 用图解法解决线性规划问题时，分析题目的已知条件，找出约束条件和目标函数是关键，可先将题目中的量分类、列出表格，理清头绪，然后列出不等式组（方程组）寻求约束条件，并就题目所述找出目标函数．然后将可行域各角点的值一一代入，最后比较，即可得到目标函数的最优解．