Question

7．给出下列四个命题：
①当x＞0且x≠1时，有lnx+$\frac{1}{lnx}$≥2；
②函数f（x）=lg（ax+1）的定义域为{x|x＞-$\frac{1}{a}$}；
③x²+y²-10x+4y-5=0上的任意点M关于直线ax-y-5a-2=0对称点M′也在该圆上．
④函数f（x）=e^-xx²在x=2处取得极大值；
其中正确命题的序号是③④．

Answer 1

分析 ①根据基本不等式成立的条件进行判断
②当a=0时，进行判断；
③求出圆的圆心和直线过定点问题，进行判断．
④利用导数与极值的关系判断．

解答 解：①当x＞0且x≠1时，lnx+$\frac{1}{lnx}$≥2不正确，当0＜x＜1时，lnx＜0，则基本不等式不满足条件；故①错误，
②当a=0时，函数f（x）=lg（ax+1）的定义域为R，则②错误；
③x²+y²-10x+4y-5=0的标准方程为（x-5）²+（y+2）²=34，则圆心坐标为（5，-2），
直线ax-y-5a-2=0等价为a（x-5）-y-2=0，则直线过定点（5，-2），即直线过圆的圆心，
故③正确，
④函数f（x）=e^-xx²，f′（x）=-e^-xx²+2e^-xx，令-e^-xx²+2e^-xx，解得x=2，
当x＜2时导函数f′（x）＞0，函数是增函数，
当x＞2时f′（x）＜0，函数是奇函数，
所以函数在x=2处取得极大值；正确．
故正确的是③④，
故答案为：③④

点评 本题主要考查命题的真假判断，涉及函数与导数的关系最值的求法，两角和与差的三角函数，函数的定义域的求法，基本不等式的应用，考查计算能力．涉及的知识点较多，但难度不大．