Question

18．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知acosBcosC+bcosAcosC=$\frac{c}{2}$．
（1）求角C；
（2）若c=$\sqrt{7}$，a+b=5，求△ABC的面积．

Answer 1

分析 （1）由已知及正弦定理，两角和的正弦函数公式，三角形内角和定理化简已知可得$cosC=\frac{1}{2}$，结合C的范围，即可得解C的值．
（2）由已知及余弦定理得ab=6，利用三角形面积公式即可计算得解．

解答 （本题满分为12分）
解：（1）由已知及正弦定理得，$cosC（sinAcosB+cosAsinB）=\frac{1}{2}sinC$，
即2cosCsin（A+B）=sinC．
故2cosCsinC=sinC，
可得$cosC=\frac{1}{2}$，
因为：C∈（0，π），
所以$C=\frac{π}{3}$．…（6分）
（2）由已知及余弦定理得，a²+b²-2abcosC=7，
又$a+b=5，C=\frac{π}{3}$，
故a²+b²-ab=（a+b）²-3ab=25-3ab=7，
因此，ab=6，
所以△ABC的面积$S=\frac{1}{2}absinC=\frac{{3\sqrt{3}}}{2}$．…（12分）

点评 本题主要考查了正弦定理，两角和的正弦函数公式，三角形内角和定理，余弦定理，三角形面积公式在解三角形中的综合应用，考查了转化思想，属于基础题．