Question

6．已知函数f（x）=$\frac{1}{3}$x³+bx²+|x-a|（a＞0，b∈R），如果f（x）的图象在点x=2a处的切线斜率为4a²+1．
（1）求b的值；
（2）若f（x）在区间（-2，2）上有最小值，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求导数，利用f（x）的图象在点x=2a处的切线斜率为4a²+1，建立方程，即可求b的值；
（2）分类讨论，确定函数的单调性，利用f（x）在区间（-2，2）上有最小值，求a的取值范围．

解答 解：（1）x≥a时，f（x）=$\frac{1}{3}$x³+bx²+x-a，f′（x）=x²+2bx+1，
x=2a时，f′（2a）=4a²+4ab+1=4a²+1，即4ab=0，
∵a＞0，∴b=0．
（2）f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{3}{x}^{3}+x-a，x≥a}\\{\frac{1}{3}{x}^{3}-x+a，x＜a}\end{array}\right.$
当x≥a时，f′（x）=x²+1＞0，即f（x）在[a，+∞）上单调递增；
当x＜a时，f′（x）=x²-1，x＜-1时，f′（x）＞0，f（x）单调递增；-1＜x＜1时，f′（x）＜0，f（x）单调递减；x＞1时，f′（x）＞0，f（x）单调递增．
对于x∈（-2，2），若a≥1，则f（x）在（-2，-1）上递增，在（-1，1）上递减，在（1，2）上递增，
此时f（x）在x=-1处取得极大值，在x=1处取得极小值．
显然f（1）＜f（2），由f（1）≤f（-2）得a-$\frac{2}{3}$≤a-$\frac{2}{3}$成立．
∴a≥1时，f（1）是f（x）在区间（-2，2）上的最小值．
若0＜a＜1，f（x）在（-2，-1）上递增，在（-1，a）上递减，在（a，2）上递增．
此时f（x）在x=a处取得极小值．
∵f（a）-f（-2）=$\frac{（a-1）^{2}（a+2）}{3}$＞0，
∴f（x）在（-2，2）上没有最小值．
综上，a的取值范围是[1，+∞）．

点评 本题考查导数知识的运用，考查导数的几何意义，考查函数的单调性与最值，考查分类讨论的数学思想，属于中档题．