Question

1．关于x的不等式xlnx-kx＞3对任意x＞1恒成立，则整数k的最大为（　　）

• A． -1
• B． -2
• C． -3
• D． -4

Answer 1

分析 把不等式xlnx-kx＞3对任意x＞1恒成立转化为k＜$\frac{xlnx-3}{x}$对任意x＞1恒成立，利用导数求出函数f（x）=$\frac{xlnx-3}{x}$的最小值得答案．

解答 解：关于x的不等式xlnx-kx＞3对任意x＞1恒成立，
即kx＜xlnx-3对任意x＞1恒成立，
也就是k＜$\frac{xlnx-3}{x}$对任意x＞1恒成立．
令f（x）=$\frac{xlnx-3}{x}$，则f′（x）=$\frac{（lnx+1）x-xlnx+3}{{x}^{2}}=\frac{x+3}{{x}^{2}}$（x＞1）．
∵f′（x）＞0恒成立，
∴f（x）在（1，+∞）上为增函数，
则f（x）＞f（1）=-3．
∴k≤-3．
故选：C．

点评 本题考查了利用导数研究函数的单调区间，考查了数学转化思想，解答此题的关键是利用导数求最值，是中档题．