Question

已知抛物线C：y=mx²（m＞0）．焦点为F，直线2x-y+2=0交抛物线C于A，B两点，P是线段AB的中点，过P作x轴的垂线交抛物线C于点Q，
（1）求抛物线C的焦点坐标；
（2）若抛物线C上有一点R（xR，2）到焦点F的距离为3，求此时m的值．
（3）是否存在实数m，使△ABQ是以Q为直角顶点的直角三角线？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由．

Answer 1

考点：抛物线的简单性质

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）抛物线C：y=mx²（m＞0），即x²=

1

m

y，可求出焦点坐标；
（2）利用抛物线的定义把焦点F的距离为3转化为到准线的距离为3即可求m的值．
（3）△ABQ是以Q为直角顶点的直角三角形即是

QA

•

QB

=0，把直线方程和抛物线方程联立，可以得到A，B两点的坐标进而求得P以及Q的坐标，代入是

QA

•

QB

=0，即可求出m的值．

解答： 解：（1）抛物线C：y=mx²（m＞0），
即x²=

1

m

y，
∴抛物线C的焦点为F（0，

1

4m

）；
（2）∵抛物线C上有一点R（x_R，2）到焦点F的距离为3，
∴2+

1

4m

=3，
∴m=

1

4

．
（3）联立方程

y=mx2 2x-y+2=0

，
消去y得mx²-2x-2=0，设A（x₁，mx₁²），B（x₂，mx₂²），
则x1+x2=

2

m

，x1•x2=-

2

m

（*），
∵P是线段AB的中点，
∴P（

x1+x2

2

，

m(x12+x22)

2

），即P（

1

m

，y_p），
∴Q（

1

m

，

1

m

），
得

QA

=（x₁-

1

m

，mx₁²-

1

m

），

QB

=（x₂-

1

m

，mx₂²-

1

m

），
若存在实数m，使△ABQ是以Q为直角顶点的直角三角形，则是

QA

•

QB

=0，
即（x₁-

1

m

）•（x₂-

1

m

）+（mx₁²-

1

m

）（mx₂²-

1

m

）=0，
结合（*）化简得-

4

m2

-

6

m

+4=0，
即2m²-3m-2=0，
∴m=2或m=-

1

2

（舍去），
∴存在实数m=2，使△ABQ是以Q为直角顶点的直角三角形．

点评：本题考查抛物线的应用以及直线与抛物线的综合问题．解决本题的关键是看清题中给出的条件，灵活运用韦达定理，中点坐标公式进行求解．