Question

20．设双曲线$\frac{x^2}{a^2}$-$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞0，b＞0）的右焦点为F，过点F与x轴垂直的直线l交两渐近线于A，B两点，与双曲线的其中一个交点为P，设坐标原点为O，且$\overrightarrow{OP}$=m$\overrightarrow{OA}$+n$\overrightarrow{OB}$（m，n∈R），且mn=$\frac{2}{9}$，则该双曲线的渐近线为（　　）

• A． $y=±\frac{{\sqrt{3}}}{4}x$
• B． $y=±\frac{{\sqrt{2}}}{4}x$
• C． $y=±\frac{1}{2}x$
• D． $y=±\frac{1}{3}x$

Answer 1

分析 求出A、C坐标，然后求出P的坐标，代入双曲线方程，利用mn=$\frac{2}{9}$，即可求出双曲线的离心率，即可求出双曲线的渐近线方程．

解答 解：由题意可知A（c，$\frac{bc}{a}$），B（c，-$\frac{bc}{a}$），
代入$\overrightarrow{OP}=m\overrightarrow{OA}+n\overrightarrow{OB}$=（（m+n）c，（m-n）$\frac{bc}{a}$），
得P（（m+n）c，（m-n）$\frac{bc}{a}$），代入双曲线方程$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}$=1，
整理可得4e²mn=1，
因为mn=$\frac{2}{9}$，
所以可得e=$\frac{3\sqrt{2}}{4}$，
所以$\frac{c}{a}$=$\frac{3\sqrt{2}}{4}$，
所以1+$\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}$=$\frac{9}{8}$，
所以$\frac{b}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{4}$，
所以双曲线的渐近线方程为y=±$\frac{\sqrt{2}}{4}$x，
故选：B．

点评 本题考查双曲线的基本性质，考查双曲线离心率、渐近线的求法，考查计算能力．