Question

1．在平面内，一条抛物线把平面分成两部分，两条抛物线最多把平面分成七个部分，设n条抛物线至多把平面分成f（n）个部分，则f（n+1）-f（n）=（　　）

• A． 2n+3
• B． 2n+1
• C． 3n+2
• D． 4n+1

Answer 1

分析 根据增加的这条抛物线，与原来的n条抛物线至多有4n个交点（由于抛物线是曲线，所以每两条抛物线至多有4个交点，与直线至多一个交点不同），这4n个交点将第n+1条抛物线分为4n+1个曲线段，这4n+1个曲线段将每个所处的区域一分为二，即比原来增加了4n+1个区域，即可得出结论．

解答 解：一条抛物线将平面至多分为2部分，两条抛物线将平面至多分为7部分，
设第n条抛物线将平面至多分为f（n）部分，则第n+1条抛物线的情况如下：增加的这条抛物线，与原来的n条抛物线至多有4n个交点（由于抛物线是曲线，所以每两条抛物线至多有4个交点，与直线至多一个交点不同），这4n个交点将第n+1条抛物线分为4n+1个曲线段，这4n+1个曲线段将每个所处的区域一分为二，即比原来增加了4n+1个区域，所以f（n+1）-f（n）=4n+1．
故选：D．

点评 （1）本题是规律探寻题，理清数据的发生、发展规律是解题的关键．此类题型具有一定的技巧性，同学们需要注意．（2）本题考查归纳推理，需要有比较好的抽象思维，同时考查累加法的应用，属中档题．