Question

10．设函数f（x）在R上存在导函数f′（x），对?x∈R，f（-x）+f（x）=x²，且当x∈（0，+∞），f′（x）＞x，若有f（1-a）-f（a）≥$\frac{1}{2}$-a，则实数a的取值范围为（　　）

• A． （-∞，$\frac{1}{2}$]
• B． [$\frac{1}{2}$，+∞）
• C． （-∞，2]
• D． [2，+∞）

Answer 1

分析 构造函数g（x）=f（x）-$\frac{1}{2}$x²，可判函数g（x）为奇函数且在R上是增函数，由函数的性质可得a的不等式，解不等式可得．

解答 解：∵f（-x）+f（x）=x²，∴f（x）-$\frac{1}{2}$x² +f（-x）-$\frac{1}{2}$x² =0，
令g（x）=f（x）-$\frac{1}{2}$x²，∵g（-x）+g（x）=f（-x）-$\frac{1}{2}$x²+f（x）-$\frac{1}{2}$x²=0，
∴函数g（x）为奇函数．∵x∈（0，+∞）时，f′（x）＞x．
∴x∈（0，+∞）时，g′（x）=f′（x）-x＞0，
故函数g（x）在（0，+∞）上是增函数，函数g（x）在（-∞，0）上也是增函数，
由f（0）=0，可得g（x）在R上是增函数．
f（1-a）-f（a）≥$\frac{1}{2}$-a等价于f（1-a）-$\frac{1}{2}$（1-a）²≥f（a）-$\frac{1}{2}$a²，
即g（1-a）≥g（a），∴1-a≥a，解得a≤$\frac{1}{2}$．
故选：A．

点评 本题考查利用导数研究函数的单调性，由已知条件构造出g（x）=f（x）-$\frac{1}{2}{x}^{2}$是解决本题的关键，属中档题．