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(本题满分14分)设有抛物线C:,通过原点O作C的切线,使切点P在第一象限.
(1)求m的值,以及P的坐标;
(2)过点P作切线的垂线,求它与抛物线的另一个交点Q;
(3)设C上有一点R,其横坐标为,为使DOPQ的面积小于DPQR的面积,试求的取值范围.
(1)斜率k=,P的坐标为(2,1)
(2)Q点的坐标为(,-4)
(3)t的取值范围为t<或t>.
设点P的坐标为(x1, y1),则y1=kx1……①,y1= –+x1 – 4……②,
①代入②,得:+(k–)x1+4=0…………………………………………………2分
因为点P为切点,所以(k–2–16=0,得:k=或k=……………………4分
当k=时x1= -2,y1= -17;当k=时,x1= 2,y1= 1;
因为点P在第一象限,故所求的斜率k=,P的坐标为(2,1),……………6分
法二:求导
(2)过 P点作切线的垂线,其方程为:y=-2x+5……③,代入抛物线方程,得:
x2x+9=0,设Q点的坐标为(x2, y2),则2x2=9,所以x2=,y2=-4,
所以Q点的坐标为(,-4),………………………………………………10分
(3)设C上有一点R(t,-t2+t–4),它到直线PQ的距离为:
d==……………………………………12分
点O到直线PQ的距离PO =,SDOPQ=´PQ´OP,SDPQR=´PQ´d,
因为DOPQ的面积小于DPQR的面积,SDOPQ < SDPQR
        即:OP < d,即:>5,……………………………………14分
+4>0或+14<0
解之得:t<或t>
所以t的取值范围为t<或t>.……………………………16分
法二:做平行线
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