Question

8．已知a，b，c∈R⁺，ab+bc+ca=1，求证：
（Ⅰ）a²+b²+c²≥1；
（Ⅱ）$a+b+c≥\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 （I）根据基本不等式即可得出结论；
（II）使用分析法，结合（I）的结论即可得出证明．

解答 证明：（Ⅰ）∵a²+b²≥2ab，b²+c²≥2bc，c²+a²≥2ca，
∴2（a²+b²+c²）≥2ab+2bc+2ca，
∴a²+b²+c²≥ab+bc+ca=1，
∴a²+b²+c²≥1．
（Ⅱ）要证$a+b+c≥\sqrt{3}$，
需证${（a+b+c）^2}≥{（\sqrt{3}）^2}$，
即证a²+b²+c²+2ab+2bc+2ca≥3，
需证a²+b²+c²≥1，
∵由（Ⅰ）知a²+b²+c²≥1成立，
∴$a+b+c≥\sqrt{3}$．

点评 本题考查了不等式的证明，基本不等式的应用，属于中档题．