Question

13．已知函数f（x）=x+$\frac{λ}{e^x}$．
（Ⅰ）当λ＞0时，求证：f（x）≥（1-λ）x+λ，并指出等号成立的条件；
（Ⅱ）求证：对任意实数λ，总存在实数x∈[-3，3]，有f（x）＞λ．

Answer 1

分析 （Ⅰ）构造函数g（x）=f（x）-（1-λ）x-λ，根据导数和函数的最值即可证明，
（Ⅱ）对任意实数λ，总存在实数x∈[-3，3]，有f（x）＞λ等价于f（x）的最大值大于λ，求导后，分类讨，根据导数和函数的最值得关系即可证明

解答 解：（Ⅰ）设g（x）=f（x）-（1-λ）x-λ=x+$\frac{λ}{e^x}$-（1-λ）x-λ=λ（$\frac{1}{{e}^{x}}$-x-1），
∴g′（x）=λ（1-$\frac{1}{{e}^{x}}$），
令g′（x）=0，解得x=0，
当x＞0时，g′（x）＞0，函数g（x）单调递增，
当x＜0时，g′（x）＜0，函数g（x）单调递减，
∴g（x）_min=g（0）=0，
∴f（x）≥（1-λ）x+λ，当x=0时取等号，
（Ⅱ）证明：“对任意实数λ，总存在实数x∈[-3，3]，有f（x）＞λ等价于f（x）的最大值大于λ．
∵f′（x）=1-λe^-x，
∴当λ≤0时，x∈[-3，3]，f′（x）＞0，f（x）在[-3，3]上单调递增，
∴f（x）的最大值为f（3）＞f（0）=λ．
∴当λ≤0时命题成立；
当λ＞0时，由f′（x）=0得x=lnλ，
则x∈R时，x，f′（x），f（x）关系如下：

x	（-∞，0）	lna	（0，+∞）
f（x）	-	0	+
f′（x）	↓	极小值	↑

（1）当λ≥e³时，lnλ≥3，f（x）在[-3，3]上单调递减，
∴f（x）的最大值f（-3）＞f（0）=λ．
∴当λ≥e³时命题成立；
（2）当e^-3＜λ＜e³时，-3＜lnλ＜3，
∴f（x）在（-3，lnλ）上单调递减，在（lnλ，3）上单调递增．
∴f（x）的最大值为f（-3）或f（3）；
且f（-3）＞f（0）=λ与f（3）＞f（0）=λ必有一成立，
∴当e^-3＜λ＜e³时命题成立；
（3）当0＜λ≤e^-3时，lnλ≤-3，
∴f（x）在[-3，3]上单调递增，
∴f（x）的最大值为f（3）＞f（0）=λ．
所以当0＜λ≤e^-3时命题成立；
综上所述，对任意实数λ，总存在实数x∈[-3，3]，有f（x）＞λ

点评 本题考查了导数和函数的最值，以及不等式的证明，考查了分类讨论的思想，考查了学生的运算能力和转化能力，属于难题