Question

18．求解以下两小题：
（1）91¹⁰⁰除以100的余数是几？
（2）若（1+x）⁶（1-2x）⁵=a₀+a₁x+a₂x²+…+a₁₁x¹¹．求：
（i）a₁+a₂+a₃+…+a₁₁；
（ii）a₀+a₂+a₄+…+a₁₀．

Answer 1

分析 （1）利用二项式定理展开即可得到答案．
（2）利用赋值法，令x=0，可得a₀．令x=1和x=-1，可得a₁+a₂+a₃+…a₁₁和a₀+a₂+a₄+…+a₁₀的值，即可求出：a₁+a₂+a₃+…a₁₁，a₀+a₂+a₄+…+a₁₀．

解答 解：（1）由91¹⁰⁰ =（90+1）¹⁰⁰=${C}_{100}^{0}$•90¹⁰⁰+${C}_{100}^{1}$•90⁹⁹+${C}_{100}^{2}$•90⁹⁸+…+${C}_{100}^{99}$•90+${C}_{100}^{100}$•（90）⁰
∵除了${C}_{100}^{99}$•90+${C}_{100}^{100}$•（90）⁰以外，其他项都能被100整除．
∴9001÷100可得余数为1．
故得91¹⁰⁰除以100的余数是1．
（2）令x=0，可得：a₀=1．
令x=1，可得：a₀+a₁+a₂+a₃+…+a₁₁=-2⁶，可得a₁+a₂+a₃+…+a₁₁=-65．
令x=-1，可得：a₀-a₁+a₂-a₃+…-a₁₁=0，相加可得a₀+a₂+a₄+…+a₁₀=-32．

点评 本题考查了二项式定理的应用、方程思想方法、整除的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．