Question

如图所示,三棱柱ABCA₁B₁C₁中,AA₁⊥平面ABC,D、E分别为A₁B₁、AA₁的中点,点F在棱AB上,且AF=AB.

(1)求证:EF∥平面BC₁D;
(2)在棱AC上是否存在一个点G,使得平面EFG将三棱柱分割成的两部分体积之比为1∶15,若存在,指出点G的位置;若不存在,说明理由.

Answer 1

(1)见解析   (2) 不存在.理由见解析

(1)证明:取AB的中点M,

∵AF=AB,
∴F为AM的中点,
又∵E为AA₁的中点,
∴EF∥A₁M.
在三棱柱ABCA₁B₁C₁中,D、M分别为A₁B₁、AB的中点,
∴A₁D∥BM,A₁D=BM,
∴四边形A₁DBM为平行四边形,
∴A₁M∥BD,
∴EF∥BD,
∵BD⊆平面BC₁D,EF?平面BC₁D,
∴EF∥平面BC₁D.
(2)解:设AC上存在一点G,使得平面EFG将三棱柱分割成两部分的体积之比为1∶15,
则∶=1∶16,
∵=
=×××
=·.
∴·=,
∴=,
∴AG=AC>AC.
所以符合要求的点G不存在.