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已知函数f(x)=x-1-lnx
(Ⅰ)求曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程;
(Ⅱ)求函数f(x)的极值;
(Ⅲ)对?x∈(0,+∞),f(x)≥bx-2恒成立,求实数b的取值范围.
(Ⅰ)函数的定义域为(0,+∞),f′(x)=1-
1
x

f′(2)=
1
2
,f(2)=1-ln2,
∴曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程为y-(1-ln2)=
1
2
(x-2)

即x-2y-2ln2=0;
(Ⅱ)f′(x)=1-
1
x

令f′(x)>0,得x>1,
列表:
x(0,1)1(1,+∞)
f′(x)-0+
f(x)0
∴函数y=f(x)的极小值为f(1)=0;
(Ⅲ)依题意对?x∈(0,+∞),f(x)≥bx-2恒成立
等价于x-1-lnx≥bx-2在(0,+∞)上恒成立
可得b≤1+
1
x
-
lnx
x
在(0,+∞)上恒成立,
令g(x)=1+
1
x
-
lnx
x
g′(x)=
lnx-2
x2

令g′(x)=0,得x=e2
列表:
x(0,e2e2(e2,+∞)
g'(x)-0+
g(x)1-
1
e2
∴函数y=g(x)的最小值为g(e2)=1-
1
e2

根据题意,b≤1-
1
e2
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已知函数f(x)=
x2+2x+a
x
,x∈[1,+∞).
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1
2
时,判断证明f(x)的单调性并求f(x)的最小值;
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2
x
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2
3
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