Question

如下图，四面体ABCD中，E、G分别为BC、AB的中点，点F在CD上，点H在AD上，且有DF∶FC=DH∶HA=2∶3.求证：EF、GH、BD交于一点.

Answer 1

答案：
解析：

思路：本题是一个证明三线共点的问题，证明时可以首先证明GH和EF共面交于一点O，然后说明O是平面ABD和平面BCD的公共点，而平面ABD和平面BCD相交于直线BD，根据公理2，两平面相交，有且只有一条交线，因此点O在交线上，即点O在直线BD上，从而证明了直线EF、GH、BD都经过点O.在该题中还涉及到证明E、F、H、G四点共面的问题，又利用了公理2的推论. 证明：因为E、G分别为BC、AB的中点，所以GE∥AC. 又因为DF∶FC=DH∶HA=2∶3， 所以FH∥AC. 从而，FH∥GE. 故E、F、H、G四点共面. 所以四边形EFHG是一个梯形，GH和EF交于一点O. 因为O在平面ABD内，又在平面BCD内，所以O在这两平面的交线上.而这两平面的交线是BD，且交线只有一条，所以点O在直线BD上.这就证明了GH和EF的交点也在BD上，所以EF、GH、BD交于一点.