Question

【题目】已知函数在点处的切线与直线垂直.（注： 为自然对数的底数）

（1）求的值；

（2）若函数在区间上存在极值，求实数的取值范围；

（3）求证：当时， 恒成立.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）详见解析.

【解析】试题分析：（1）求出函数的导数，求出切线的斜率，结合两直线垂直的条件，可得的方程，解出即可；（2）求出单调区间可得极值点1，令，可得取值范围；（3）当时， ，令，运用二次求导可得函数，得结论.

试题解析：（1）因为，所以，

又据题意，得，所以，所以.

（2），

当时， ， 为增函数，

当时， ， 为减函数.

所以函数仅当时，取得极值.

又函数在区间上存在极值，所以，所以.

故实数的取值范围是.

（3）当时， ，令，则

，

再令，则，

又因为，所以.

所以在上是增函数，

又因为，

所以当时， .

所以在区间上是增函数.

所以当时， ，又，∴恒成立，即原不等式成立.