Question

【题目】在数列{an}中，a1=2，an+1=（n∈N+），

（1）计算a2、a3、a4并由此猜想通项公式an；

（2）证明（1）中的猜想．

Answer 1

【答案】（1）（2）见解析

【解析】试题分析（1）根据递推关系式依次求a2、a3、a4，根据分子分母之间关系猜想通项公式an（2）利用数学归纳法证明，先证起始项，再利用an+1=及归纳假设证n=k+1情况

试题解析：（1）在数列{an}中，∵a1=2，an+1=（n∈N*）

∴a1=2=，a2==，a3==，a4==，

∴可以猜想这个数列的通项公式是an=．

（2）方法一：下面利用数学归纳法证明：

①当n=1时，成立；

②假设当n=k时，ak=．

则当n=k+1（k∈N*）时，ak+1===，

因此当n=k+1时，命题成立．

综上①②可知：n∈N*，an=都成立，

方法二：∵an+1=，

∴==1+，∴﹣=1，∵a1=2，∴=，

∴{}是以为首项，以1为公差的等差数列，∴=+（n﹣1）=，∴an=