Question

15．若直线ax+by-1=0（a＞0，b＞0）经过曲线y=2+sinπx（0＜x＜2）的对称中心，则$\frac{2}{a}$+$\frac{1}{b}$的最小值为8．

Answer 1

分析 曲线y=2+sinπx（0＜x＜2）的对称中心为：（1，2），可得直线a+2b=1（a＞0，b＞0），利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出．

解答 解：曲线y=2+sinπx（0＜x＜2）的对称中心为：（1，2），
∴直线a+2b=1（a＞0，b＞0），
则$\frac{2}{a}$+$\frac{1}{b}$=（a+2b）$（\frac{2}{a}+\frac{1}{b}）$=4+$\frac{4b}{a}$+$\frac{a}{b}$≥4+2$\sqrt{\frac{4a}{b}×\frac{b}{a}}$=8，当且仅当b=2a=$\frac{2}{5}$时取等号．
∴$\frac{2}{a}$+$\frac{1}{b}$的最小值为8．
故答案为：8．

点评 本题考查了三角函数的对称性、基本不等式的性质、点与直线的位置关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．