Question

双曲线C与椭圆

x2

9

+

y2

4

=1有相同的焦距，一条渐近线方程为x-2y=0，则双曲线C的标准方程为（　　）

• A、

  x2

  4

  -y²=1
• B、

  x2

  4

  -y²=1或y²-

  x2

  4

  =1
• C、x²-

  y2

  4

  =1或y²-

  x2

  4

  =1
• D、y²-

  x2

  4

  =1

Answer 1

考点：双曲线的标准方程,椭圆的简单性质

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：先求出椭圆的焦距，从而得到双曲线的焦距，再由双曲线的渐近线方程，能求出双曲线的标准方程．

解答： 解：∵椭圆

x2

9

+

y2

4

=1中，c=

9-4

=

5

，
∴焦距|F₁F₂|=2c=2

5

，
∵双曲线C与椭圆

x2

9

+

y2

4

=1有相同的焦距，一条渐近线方程为x-2y=0，
∴设双曲线方程为

x2

4

-y2=λ，λ≠0
化为标准方程，得：

x2

4λ

-

y2

λ

=1，
当λ＞0时，c=

4λ+λ

=

5

，解得λ=1，
∴双曲线方程为

x2

4

-y2=1；
当λ＜0时，c=

-λ-4λ

=

5

，解得λ=-1，
∴双曲线方程为y2-

x2

4

=1．
∴双曲线方程为

x2

4

-y²=1或y²-

x2

4

=1．
故选：B．

点评：本题考查双曲线方程的求法，是中档题，解题时要认真审题，要熟练掌握双曲线、椭圆的简单性质．