Question

4．已知数列{a_n}的前n项和为S_n，向量$\overrightarrow{a}$=（S_n，n），$\overrightarrow{b}$=（9n-7，2）且$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$共线．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）对任意m∈N^*，将数列{a_n}中落入区间（9^m，9^2m）内的项的个数记为b_m，求数列{b_m}的前m项和S_m．

Answer 1

分析 （1）利用向量关系定理、递推关系即可得出．
（2）对m∈N^*，若9^m＜a_n＜9^2m，则9^m+8＜9n＜9^2m+8，9^m-1+1≤n≤9^2m-1．可得b_m=9^2m-1-9^m-1．再利用等比数列的求和公式即可得出．

解答 解：（1）∵$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$共线．
∴2S_n=n（9n-7），
∴${S_n}=\frac{n（9n-7）}{2}=\frac{9}{2}{n^2}-\frac{7}{2}n$，
∴a₁=1，a_n=S_n-S_n-1=9n-8
∴a_n=9n-8（n∈N^*）．  
（2）对m∈N^*，若9^m＜a_n＜9^2m，则9^m+8＜9n＜9^2m+8．
因此9^m-1+1≤n≤9^2m-1．故得b_m=9^2m-1-9^m-1．
于是T_m=b₁+b₂+b₃+…+b_m
=（9+9³+…+9^2m-1）-（1+9+…+9^m-1）=$\frac{9×（1-81m）}{1-81}$-$\frac{（1-9m）}{1-9}$
=$\frac{92m+1-10×9m+1}{80}$．

点评 本题考查了向量关系定理、等比数列的通项公式与求和公式、递推关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．