Question

已知递增等比数列{a_n}满足：a₂+a₃+a₄=14，且a₃+1是a₂，a₄的等差中项．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若数列{a_n}的前n项和为S_n，求使S_n＜63成立的正整数n的最大值．

Answer 1

考点：数列的求和,等比数列的性质

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）利用等差数列与等比数列的通项公式即可得出；
（2）利用等比数列的前n项和公式即可得出．

解答： 解：（1）等比数列{a_n}的公比为q，∵a₂+a₃+a₄=14，且a₃+1是a₂，a₄的等差中项．
∴a1q+a1q2+a1q3=14，2（a₃+1）=a₂+a₄，即2(a1q2+1)=a1q+a1q3．
联立解得a₁=1，q=2；a₁=16，q=

1

2

．
∴数列{a_n}是递增等比数列，
取a₁=1，q=2．
∴a_n=2^n-1．
（2）由（1）可得S_n=

2n-1

2-1

=2ⁿ-1．
S_n＜63，即2ⁿ＜64，
因此使S_n＜63成立的正整数n的最大值为5．

点评：本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式，考查了计算能力，属于基础题．