Question

给出下列命题：
（1）函数f（x）=2xln（x-2）-3只有一个零点；
（2）若

a

与

b

不共线，则

a

+

b

与

a

-

b

不共线；
（3）若非零平面向量

a

，

b

，

c

两两所成的夹角均相等，则夹角为120°；
（4）若数列{a_n}的前n项的和S_n=2ⁿ⁺¹-1，则数列{a_n}是等比数列；
（5）函数y=2^x的图象经过一定的平移可以得到函数y=3•2^x-1的图象．
其中，所有正确命题的序号为

 

．

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：函数的性质及应用,等差数列与等比数列,平面向量及应用,简易逻辑

分析：（1）根据函数y=ln（x-2）和函数y=

3 2

x

的图象有且只有一个交点，可得函数f（x）=2xln（x-2）-3只有一个零点；
（2）利用反证法，结合向量共线的充要条件，可判断正误；
（3）若非零平面向量

a

，

b

，

c

两两所成的夹角均相等，则夹角为120°或0°；
（4）若数列{a_n}的前n项的和S_n=2ⁿ⁺¹-1，可求出数列的前若干项，进而可判断正误；
（5）函数y=3•2^x-1=2x+log23-1，根据函数图象的平移变换法则，可判断正误．

解答： 解：（1）函数f（x）=2xln（x-2）-3的零点个数即方程ln（x-2）=

3 2

x

的根的个数，即为函数y=ln（x-2）和函数y=

3 2

x

的图象交点个数，两个函数图象有且只有一个交点，故（1）正确；
（2）假设

a

+

b

与

a

-

b

共线，则存在实数λ，使

a

+

b

=λ（

a

-

b

），
若λ=1，则

b

=

0

，此时

a

与

b

共线，
若λ≠1，则，此时

a

=

λ+1

λ-1

b

，此时

a

与

b

共线，
这与

a

与

b

不共线矛盾，故假设不成立，故（2）正确；
（3）若非零平面向量

a

，

b

，

c

两两所成的夹角均相等，则夹角为120°或0°，故（3）错误；
（4）若数列{a_n}的前n项的和S_n=2ⁿ⁺¹-1，a₁=3，a₂=4，a₃=8，则数列{a_n}不是等比数列，故（4）错误；
（5）函数y=2^x的图象向左平移log₂3个单位，再向下平移一个单位，可以得到函数y=2x+log23-1=3•2^x-1的图象，故（5）正确．
故答案为：（1）（2）（5）

点评：本题以命题的真假判断为载体，考查了函数的零点，向量的共线，向量的夹角，等比数列的判定，函数图象的变换等知识点，难度中档．