Question

已知：函数g（x）=a（x-1）³+b（a≠0）在点（0，b-a）处的切线与x-y-1=0平行，且g（2）=

2

3

，若g'（x）为g（x）的导函数，设函数f（x）=

g′(x)

x

．
（1）求a、b的值及函数f（x）的解析式；
（2）如果关于x的方程f（|2^x-1|）+t•（

4

|2x-1|

-1）=0有三个相异的实数根，求实数t的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程,利用导数研究函数的单调性

专题：导数的综合应用

分析：（1）求函数的导数，根据导数的几何意义建立条件关系即可求a、b的值及函数f（x）的解析式；
（2）将方程化简，利用换元法结合数形结合即可得到结论．

解答： 解：（1）g′（x）=3a（x-1）²，g′（0）=3a，
∵g（x）在x=0处的切线与x-y-1=0平行，
∴切线的斜率为1，
则3a=1，即a=

1

3

，
又∵g（2）=

2

3

，
∴a+b=

2

3

，
则b=

2

3

-a=

1

3

，
那么 g(x)=

1

3

(x-1)3+

1

3

，
∴g′（x）=（x-1）³
则a=b=

1

3

，
∴f（x）=x+

1

x

-2．
（2）∵f（|2^x-1|）+t•（

4

|2x-1|

-1）=0，
∴|2^x-1|+

1

|2x-1|

+

4t

|2x-1|

-3t-2=0．
令u=|2^x-1|＞0，则u²-（3t+2）u+（4t+1）=0，①
记方程①的根为u₁，u₂，当0＜u₁＜1＜u₂时，原方程有三个相异实根，
记g（u）=u²-（3t+2）u+（4t+1），由题可知，

g(0)=4t+1＞0 g(1)=t＜0

或

g(0)=4t+1＞0 g(1)=t=0 0＜ 3t+2 2 ＜1

，
解得-

1

4

＜t＜0时满足题设．

点评：本题主要考查导数的综合应用，利用导数和函数之间的关系是解决本题的关键．综合性较强运算量较大．