Question

设a＞0且a≠1，函数y=a^2x+2a^x+1在[-1，1]的最大值是14，求a的值．

Answer 1

考点：指数函数综合题

专题：函数的性质及应用

分析：令t=a^x（a＞0，a≠1），则原函数化为y=t²+2t-1=（t+1）²-2（t＞0），分类①当0＜a＜1时，②当a＞1时，利用单调性求解即可．

解答： 解：令t=a^x（a＞0，a≠1），则原函数化为y=t²+2t-1=（t+1）²-2（t＞0）
①当0＜a＜1时，x∈[-1，1]，t=a^x∈[a，

1

a

]，
此时f（x）在[a，

1

a

]上为增函数，所以f（x）_max=f（

1

a

）=（

1

a

+1）²-2=1     
所以a=-

1

5

（舍去）或a=

1

3

，
，x∈[-1，1]，t=a^x∈[a，

1

a

]，此时f（t）在[

1

a

，a]上为增函数，所以f（x）_max=f（a）=（a+1）²-2=14，
所以a=-5（舍去）或a=3，
综上a=

1

3

或a=3．

点评：本题考查了指数函数的性质的应用，难度较大，属于中档题，注意复合函数的单调性的运用．