Question

已知函数 f（x）=

1

3

x3-(2a+1)x2+3a（a+2）x+1，a∈R．
（1）当a=0时，求曲线y=f（x）在点（3，f（3））处的切线方程；
（2）当a=-1时，求函数y=f（x）在[0，4]上的最大值和最小值；
（3）当函数y=f′（x）在（0，4）上有唯一的零点时，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：计算题,函数的性质及应用,导数的概念及应用,导数的综合应用

分析：（1）求出导数，切线的斜率，由点斜式方程，即可得到切线方程；
（2）求出a=-1的函数的导数，求出单调区间和极值，以及端点的函数值，即可得到最值；
（3）求出导数，分解因式，讨论①当x₁=x₂时，②当x₁＞x₂时，③当x₁＜x₂时，函数的零点与区间的关系，即可得到a的取值范围．

解答： 解：（1）当a=0时，f(x)=

1

3

x3-x2+1，
∴f（3）=1，∵f′（x）=x²-2x，
曲线在点（3，1）处的切线的斜率k=f′（3）=3
∴所求的切线方程为y-1=3（x-3），即y=3x-8，
（2）当a=-1时，函数f(x)=

1

3

x3+x2-3x+1，
∵f′（x）=x²+2x-3，令f′（x）=0得x₁=1，x₂=-3，
x₂∉[0，4]，当x∈（0，1）时，f'（x）＜0，
即函数y=f（x）在（0，1）上单调递减，
当x∈（1，4）时，f′（x）＞0，即函数y=f（x）在（1，4）上单调递增，
∴函数y=f（x）在[0，4]上有最小值，f(x)最小值=f(1)=-

2

3

，
又f(0)=1，f(4)=26

1

3

；
∴当a=-1时，函数y=f（x）在[0，4]上的最大值和最小值分别为26

1

3

，-

2

3

．
（3）∵f'（x）=x²-2（2a+1）x+3a（a+2）=（x-3a）（x-a-2）
∴x₁=3a，x₂=a+2，
①当x₁=x₂时，3a=a+2，解得a=1，这时x₁=x₂=3，
函数y=f′（x）在（0，4）上有唯一的零点，故a=1为所求；
②当x₁＞x₂时，即3a＞a+2⇒a＞1，这时x₁＞x₂＞3，
又函数y=f'（x）在（0，4）上有唯一的零点，
∴

3＜x2＜4 x1≥4.

⇒

3＜a+2＜4 3a≥4.

⇒

4

3

≤a＜2，
③当x₁＜x₂时，即a＜1，这时x₁＜x₂＜3
又函数y=f′（x）在（0，4）上有唯一的零点，
∴

x1≤0 0＜x2＜3.

⇒

3a≤0 0＜a+2＜3.

⇒-2＜a≤0，
综上得，当函数y=f′（x）在（0，4）上有唯一的零点时，
a的取值范围是：-2＜a≤0或

4

3

≤a＜2或a=1．

点评：本题考查导数的运用：求切线方程和求单调区间、求极值和最值，考查函数的零点的判断，考查分类讨论的思想方法和运算能力，属于中档题和易错题．