Question

已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（ω＞0，A＞0，φ∈（0，

π

2

））的部分图象如图所示，其中点P是图象的一个最高点．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）求函数f（-x）的单调增区间；
（3）求函数图象的对称中心和对称轴；
（4）解不等式f（x）≥

3

；
（5）函数f（x）的图象可由y=sinx的图象经过怎样变换得到？

Answer 1

考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式,正弦函数的图象,函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换

专题：综合题,三角函数的图像与性质

分析：（1）利用最高点可求A，利用周期求出ω，（

π

12

，2）代入，求出φ，可得函数f（x）的解析式；
（2）令-2x+

π

3

∈[2kπ-

π

2

，2kπ+

π

2

]，求函数f（-x）的单调增区间；
（3）利用正弦函数的对称中心和对称轴，求函数图象的对称中心和对称轴；
（4）由f（x）≥

3

，可得2sin（2x+

π

3

）≥

3

，即可解不等式f（x）≥

3

；
（5）利用函数的图象变换规律，可得结论．

解答： 解：（1）由题意，A=2，T=4（

π

12

+

π

6

）=π，
∴ω=2，
∴f（x）=2sin（2x+φ），
（

π

12

，2）代入可得sin（

π

6

+φ）=1，φ∈（0，

π

2

），∴φ=

π

3

，
∴f（x）=2sin（2x+

π

3

）；
（2）f（-x）=-2sin（2x-

π

3

），
令2x-

π

3

∈[2kπ+

π

2

，2kπ+

3π

2

]，可得函数f（-x）的单调增区间为[kπ+

π

12

，kπ+

7

12

π]，k∈Z；
（3）由2x+

π

3

=kπ，可得x=

kπ

2

-

π

6

，故函数图象的对称中心为（

kπ

2

-

π

6

，0），k∈Z；
由2x+

π

3

=kπ+

π

2

，可得x=

kπ

2

+

π

12

，故函数图象的对称轴为x=

kπ

2

+

π

12

，k∈Z；
（4）由f（x）≥

3

，可得2sin（2x+

π

3

）≥

3

，解得2kπ+

π

3

≤2x+

π

3

≤2kπ+

2π

3

∴不等式的解集为{x|kπ≤x≤kπ+

π

6

，k∈Z}；
（5）函数f（x）的图象可由y=sinx的图象向左平移

π

3

个单位，再将横坐标变为原来的一半，纵坐标变为原来的2倍．

点评：本题考查三角函数的图象与性质，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．