Question

16．已知椭圆Γ：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$（a＞b＞0）过点M（$\sqrt{2}$，0），且离心率为$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
（Ⅰ）求椭圆Γ的方程；
（Ⅱ）设点P（x₀，y₀）（y₀≠0）在椭圆Γ上，
（ⅰ）证明：直线$\frac{{x}_{0}x}{2}+{y}_{0}y$=1与椭圆相切；
（ⅱ）过点P作两条直线PA、PB分别交椭圆于点A、B，
求证：“直线AB的斜率与过点P的椭圆的切线斜率互为相反数”的充要条件是“直线PA的斜率与直线PB的斜率互为相反数”．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由椭圆过点M（$\sqrt{2}$，0），且离心率为$\frac{\sqrt{2}}{2}$，列出方程组能求出椭圆方程．
（Ⅱ）（ⅰ）将直线方程$\frac{{x}_{0}x}{2}+{y}_{0}y=1$代入椭圆方程$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1$，得（${{x}_{0}}^{2}+2{{y}_{0}}^{2}$）x²-4x₀x+4-4y₀²=0，由点P在椭圆上，方程可化为：${x}^{2}-2{x}_{0}x+{{x}_{0}}^{2}$=0，由此利用根的判别式能证明直线$\frac{{x}_{0}x}{2}+{y}_{0}y$=1与椭圆相切．
（ⅱ）先证明必要性：直线AB的斜率与过点P的椭圆的切线斜率互为相反数，再证明充分性：直线AB的斜率与过点P椭圆切线斜率互为相反数．由此能证明：“直线AB的斜率与过点P的椭圆的切线斜率互为相反数”的充要条件是“直线PA的斜率与直线PB的斜率互为相反数”．

解答 解：（Ⅰ）∵椭圆Γ：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$（a＞b＞0）过点M（$\sqrt{2}$，0），且离心率为$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴由题意得${a}^{2}=2，e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{{a}^{2}-{b}^{2}}}{a}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，…（2分）
解得b²=1，即所求椭圆方程为$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1$．…（4分）
证明：（Ⅱ）（ⅰ）将直线方程$\frac{{x}_{0}x}{2}+{y}_{0}y=1$代入椭圆方程$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1$，
整理得（${{x}_{0}}^{2}+2{{y}_{0}}^{2}$）x²-4x₀x+4-4y₀²=0，…（6分）
由点P在椭圆上得$\frac{{{x}_{0}}^{2}}{4}$+y₀²=1，故方程可化为：${x}^{2}-2{x}_{0}x+{{x}_{0}}^{2}$=0，
因此判别式$△=4{{x}_{0}}^{2}-4{{x}_{0}}^{2}=0$，则直线$\frac{{x}_{0}x}{2}+{y}_{0}y$=1与椭圆相切．…（8分）
（ⅱ）必要性：直线AB的斜率与过点P的椭圆的切线斜率互为相反数，
由（ⅰ）知过点P的椭圆的切线斜率为-$\frac{{x}_{0}}{2{y}_{0}}$，则可设直线AB方程为y=kx+m（其中k=$\frac{{x}_{0}}{2{y}_{0}}$），A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）．
将y=kx+m代入$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1$中，
得（2k²+1）x²+4kmx+2m²-2=0，
故${x}_{1}+{x}_{2}=-\frac{4km}{2{k}^{2}+1}$，${x}_{1}{x}_{2}=\frac{2{m}^{2}-2}{2{k}^{2}+1}$．…（9分）
k_PA+k_PB=$\frac{{y}_{1}-{y}_{0}}{{x}_{1}-{x}_{0}}$+$\frac{{y}_{2}-{y}_{0}}{{x}_{2}-{x}_{0}}$=$\frac{k{x}_{1}+m-{y}_{0}}{{x}_{1}-{x}_{0}}$+$\frac{k{x}_{2}+m-{y}_{0}}{{x}_{2}-{x}_{0}}$
=$\frac{2k{x}_{1}{x}_{2}+（m-{y}_{0}-k{x}_{0}）（{x}_{1}+{x}_{2}）-2（m-{y}_{0}）{x}_{0}}{（{x}_{1}-{x}_{0}）（{x}_{2}-{x}_{0}）}$，
考虑分子，并注意到k=$\frac{{x}_{0}}{2{y}_{0}}$，$\frac{{{x}_{0}}^{2}}{2}-1=-{{y}_{0}}^{2}$，
得：分子=$\frac{2k（2{m}^{2}-2）}{2{k}^{2}+1}+\frac{4km（k{x}_{0}+{y}_{0}-m）}{2{k}^{2}+1}-2（m-{y}_{0}）{x}_{0}$
=$\frac{4k{y}_{0}m-4k+4{k}^{2}{x}_{0}{y}_{0}+2{x}_{0}{y}_{0}-2m{x}_{0}}{2{k}^{2}+1}$
=$\frac{2m{x}_{0}-\frac{2{x}_{0}}{{y}_{0}}+\frac{{{x}_{0}}^{3}}{{y}_{0}}+2{x}_{0}{y}_{0}-2m{x}_{0}}{2{k}^{2}+1}$
=$\frac{\frac{2{x}_{0}}{{y}_{0}}（\frac{{{x}_{0}}^{2}}{2}-1）+2{x}_{0}{y}_{0}}{2{k}^{2}+1}$
=$\frac{-2{x}_{0}{y}_{0}+2{x}_{0}{y}_{0}}{2{k}^{2}+1}$=0，则k_PA+k_PB=0．…（11分）
充分性：设点A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），记直线PA的斜率为k，
则直线PA方程为y-y₀=k（x-x₀），将其代入$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1$中，
化简、整理得（2k²+1）x²+4（ky₀-k²x₀）x+$2{k}^{2}{{x}_{0}}^{2}-4k{x}_{0}{y}_{0}+2{{y}_{0}}^{2}-2=0$，
故x₁+x₂=$\frac{4（{k}^{2}{x}_{0}-k{y}_{0}）}{2{k}^{2}+1}$，则${x}_{1}=\frac{4（{k}^{2}{x}_{0}-k{y}_{0}）}{2{k}^{2}+1}$-x₀，（1）…（12分）
因为直线PA的斜率与直线PB的斜率互为相反数，则可设直线PB方程为y-y₀=k（x-x₀），
同理可求x₂=$\frac{4（{k}^{2}{x}_{0}+k{y}_{0}）}{2{k}^{2}+1}$-x₀，（2）
（2）-（1）得：x₂-x₁=$\frac{8k{y}_{0}}{2{k}^{2}+1}$，又${y}_{2}-{y}_{1}=-k[（{x}_{1}+{x}_{2}）-2{x}_{0}]=\frac{4{x}_{0}k}{2{k}^{2}+1}$，
则${k}_{AB}=\frac{{y}_{2}-{y}_{1}}{{x}_{2}-{x}_{1}}$=$\frac{{x}_{0}}{2{y}_{0}}$，由题意知过点P的椭圆切线斜率${k}_{切}=-\frac{{x}_{0}}{2{y}_{0}}$，故k_AB+k_切=0
即直线AB的斜率与过点P椭圆切线斜率互为相反数．
∴“直线AB的斜率与过点P的椭圆的切线斜率互为相反数”的充要条件是“直线PA的斜率与直线PB的斜率互为相反数”．…（14分）

点评 本题考查椭圆方程的求法，考查直线与椭圆相切的证明证明，考查充要条件的证明，是中档题，解题时要认真审题，注意椭圆性质的合理运用．