Question

4．已知一四面体的三组对边分别相等，且长度依次为5、$\sqrt{34}$、$\sqrt{41}$．
（1）求该四面体的体积；
（2）求该四面体外接球的表面积．

Answer 1

分析 由棱锥的对边相等可知四面体为长方体切去4个小棱锥得到的，求出长方体的棱长即可得出四面体的体积和外接球的表面积．

解答 解：（1）∵四面体的三组对边分别相等，
∴四面体为某一长方体的六条面对角线组成的三棱锥，
设长方体的棱长为a，b，c，则$\left\{\begin{array}{l}{\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}=5}\\{\sqrt{{b}^{2}+{c}^{2}}=\sqrt{34}}\\{\sqrt{{a}^{2}+{c}^{2}}=\sqrt{41}}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=4}\\{b=3}\\{c=5}\end{array}\right.$，
∴四面体的体积V=abc-$\frac{1}{6}$abc×4=$\frac{1}{3}$abc=20．
（2）由（1）可知四面体的外接球为长方体的外接球，
外接球直径为长方体的体对角线长$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}+{c}^{2}}$=5$\sqrt{2}$，
∴外接球的半径为r=$\frac{5\sqrt{2}}{2}$，
∴外接球的表面积为S=4πr²=50π．

点评 本题考查了棱锥的结构特征，体积与外接球表面积计算，属于中档题．