Question

某产品生产厂家根据以往的生产销售经验得到下面有关生产销售的统计规律：每生产产品x(百台)，总成本为G(x)(万元)，其中固定成本为2万元，并且每生产1百台的生产成本为1万元(总成本＝固定成本＋生产成本)；销售收入R(x)(万元)满足：R(x)＝假定该产品产销平衡，那么根据上述统计规律求下列问题．
(1)要使工厂有赢利，产量x应控制在什么范围内？
(2)工厂生产多少台产品时，可使赢利最多？

Answer 1

（1）大于100台，小于820（2）400台

依题意，G(x)＝x＋2，设利润函数为f(x)，则
f(x)＝
(1)要使工厂有赢利，即解不等式f(x)>0，
当0≤x≤5时，解不等式－0.4x²＋3.2x－2.8>0，
即x²－8x＋7<0，得1<x<7，
∴1<x≤5.
当x>5时，解不等式8.2－x>0，得x<8.2，
∴5<x<8.2.
综上所述，要使工厂赢利，x应满足1<x<8.2，即产品产量应控制在大于100台，小于820台的范围内．
(2)0≤x≤5时，f(x)＝－0.4(x－4)²＋3.6，
故当x＝4时，f(x)有最大值3.6；
而当x>5时，f(x)<8.2－5＝3.2.
所以，当工厂生产400台产品时，赢利最多