Question

抛物线y=x²（-2≤x≤2）绕y轴旋转一周形成一个如图所示的旋转体，在此旋转体内水平放入一个正方体，使正方体的一个面恰好与旋转体的开口面平齐，则此正方体的棱长是

 

．

Answer 1

考点：抛物线的简单性质

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：根据题意过正方体的一个对角面作一截面，得到抛物线的一个截面图，如图．阴影部分就是正方体的对角面，D是正方体的体对角线，设正方体的棱长为M，得出的A点坐标B，代入抛物线方程，求得此正方体的棱长x．

解答： 解：作过正方体的两条相对侧棱的截面图如图，
设正方体AC₁的棱长AA₁=a，则底面对角线AC=

2

a，
所以A点的横坐标等于

2

2

a，代入抛物线y=x²得：y=（

2

2

)2=

a2

2

，
即A点纵坐标为（

2

2

a，

a2

2

）．
又由题意可知A点纵坐标等于4-a．
所以

a2

2

，解得：a=2．
所以正方体的棱长是2．
故答案为2．

点评：本题考查了抛物线的应用，考查了数形结合的解题思想和数学转化思想，能够正确作出该题的截面图是解答该题的关键，属中档题．