Question

13．已知数列{a_n}满足a₁=1，且a_n+1-a_n=2ⁿ，n∈N^*，若$\frac{16λ}{1+{a}_{n}}$+19≤3n对任意n∈N^*都成立，则实数λ的取值范围为（-∞，-8]．

Answer 1

分析 a₁=1，且a_n+1-a_n=2ⁿ，n∈N^*，即n≥2时，a_n-a_n-1=2^n-1．利用a_n=（a_n-a_n-1）+（a_n-1-a_n-2）+…+（a₂-a₁）+a₁可得a_n.$\frac{16λ}{1+{a}_{n}}$+19≤3n，化为：λ≤$\frac{（3n-19）•{2}^{n}}{16}$=f（n）.$\frac{16λ}{1+{a}_{n}}$+19≤3n对任意n∈N^*都成立，?λ≤f（n）_min．通过作差即可得出最小值．

解答 解：∵a₁=1，且a_n+1-a_n=2ⁿ，n∈N^*，即n≥2时，a_n-a_n-1=2^n-1．
∴a_n=（a_n-a_n-1）+（a_n-1-a_n-2）+…+（a₂-a₁）+a₁=2^n-1+2^n-2+…+2+1=$\frac{{2}^{n}-1}{2-1}$=2ⁿ-1．
∵$\frac{16λ}{1+{a}_{n}}$+19≤3n，化为：λ≤$\frac{（3n-19）•{2}^{n}}{16}$=f（n）．
$\frac{16λ}{1+{a}_{n}}$+19≤3n对任意n∈N^*都成立，?λ≤f（n）_min．
由f（n）≤0，可得n≤$\frac{19}{3}$，因此n≤6时，f（n）＜0；n≥7时，f（n）＞0．
f（n+1）-f（n）=$\frac{（3n-16）•{2}^{n+1}}{16}$-$\frac{（3n-19）•{2}^{n}}{16}$=$\frac{（3n-13）•{2}^{n}}{16}$≤0，
解得n≤$\frac{13}{3}$．
∴f（1）＞f（2）＞f（3）＞f（4）＞f（5）＜f（6），
可得f（n）_min=f（5）=-8．
则实数λ的取值范围为（-∞，-8]．
故答案为：（-∞，-8]．

点评 本题考查了数列递推关系、累加求和方法、不等式的性质、等价转化方法、作差法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．