Question

13．如图，在平面直角坐标系xOy中，以x轴正半轴为始边作锐角α，其终边与单位圆交于点A．以OA为始边作锐角β，其终边与单位圆交于点B，AB=$\frac{{2\sqrt{5}}}{5}$．
（1）求cosβ的值；
（2）若点A的横坐标为$\frac{5}{13}$，求点B的坐标．

Answer 1

分析 （1）由条件利用余弦定理，求得cosβ的值．
（2）利用任意角的三角函数的定义，同角三角函数的基本关系，两角和差的正弦、余弦公式，求得点B的坐标．

解答 解：（1）在△AOB中，由余弦定理得，AB²=OA²+OB²-2OA•OBcos∠AOB，
所以，$cos∠AOB=\frac{{O{A^2}+O{B^2}-A{B^2}}}{2OA•OB}$=$\frac{{{1^2}+{1^2}-{{（\frac{{2\sqrt{5}}}{5}）}^2}}}{2×1×1}=\frac{3}{5}$，
即$cosβ=\frac{3}{5}$． 
（2）因为$cosβ=\frac{3}{5}$，$β∈（0\;，\;\frac{π}{2}）$，∴$sinβ=\sqrt{1-{{cos}^2}β}=\sqrt{1-{{（\frac{3}{5}）}^2}}=\frac{4}{5}$． 
因为点A的横坐标为$\frac{5}{13}$，由三角函数定义可得，$cosα=\frac{5}{13}$，
因为α为锐角，所以$sinα=\sqrt{1-{{cos}^2}α}=\sqrt{1-{{（\frac{5}{13}）}^2}}=\frac{12}{13}$． 
所以$cos（{α+β}）=cosαcosβ-sinαsinβ=\frac{5}{13}×\frac{3}{5}-\frac{12}{13}×\frac{4}{5}=-\frac{33}{65}$，$sin（{α+β}）=sinαcosβ+cosαsinβ=\frac{12}{13}×\frac{3}{5}+\frac{5}{13}×\frac{4}{5}=\frac{56}{65}$，
即点$B（-\frac{33}{65}\;，\;\frac{56}{65}）$．

点评 本题主要考查余弦定理，任意角的三角函数的定义，同角三角函数的基本关系，两角和差的正弦、余弦公式的应用，属于基础题．