Question

8．己知数列{a_n}的前n项和S_n=$\frac{3{n}^{2}-n}{2}$（n∈N^*）
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）令b_n=$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）根据公式a_n=$\left\{\begin{array}{l}{{S}_{1}，n=1}\\{{S}_{n}-{S}_{n-1}，n≥2}\end{array}\right.$计算a_n；
（2）使用裂项法求和．

解答 解：（1）当n=1时，a₁=S₁=1，
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=$\frac{3{n}^{2}-n}{2}$-$\frac{3（n-1）^{2}-（n-1）}{2}$=3n-2，
经检验，当n=1时，上式仍成立，
∴a_n=3n-2．
（2）b_n=$\frac{1}{（3n-2）（3n+1）}$=$\frac{1}{3}$（$\frac{1}{3n-2}-\frac{1}{3n+1}$）．
∴T_n=$\frac{1}{3}$（1-$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{4}$-$\frac{1}{7}$+$\frac{1}{7}-\frac{1}{10}$+…+$\frac{1}{3n-2}-\frac{1}{3n+1}$）
=$\frac{1}{3}$（1-$\frac{1}{3n+1}$）
=$\frac{n}{3n+1}$．

点评 本题考查了数列通项公式的求法，裂项法数列求和，属于中档题．