Question

16．①已知向量$\overrightarrow a$=（1，1，0），$\overrightarrow b$=（-1，0，2），且k$\overrightarrow a$+$\overrightarrow b$与2$\overrightarrow a$-$\overrightarrow b$互相垂直，求k的值．
②已知A_2n³=2A_n+1⁴，求log_n25的值．

Answer 1

分析 ①根据空间向量的坐标运算和向量的数量积的运算和向量的垂直即可求出．
②直接根据排列数公式，化简等式为二次方程，注意n的范围，求出n，代入即可得到log_n25的值．

解答 解：①$\overrightarrow a$=（1，1，0），$\overrightarrow b$=（-1，0，2），
∴k$\overrightarrow a$+$\overrightarrow b$=（k-1，k，2），2$\overrightarrow a$-$\overrightarrow b$=（3，2，-2），
∵k$\overrightarrow a$+$\overrightarrow b$与2$\overrightarrow a$-$\overrightarrow b$互相垂直，
∴3（k-1）+2k+2×（-2）=0，
解得k=$\frac{7}{5}$，
②解：A_2n³=2A_n+1⁴ 可得2n（2n-1）（2n-2）=2（n+1）n（n-1）（n-2）
即：4n-2=n²-n-2
解得n=5，所以log_n25=log₅25=2．

点评 本题考查排列及排列数公式以及向量的数量积的运算，属于基础题．