Question

已知三棱柱ABC-A₁B₁C₁的侧棱与底面垂直，D、E分别是A₁C₁、AB₁的中点，且三棱柱的六个顶点都在球O的球面上，若AB=AC=1，∠CAB=90°，球O的半径为

2

，则异面直线AA₁与DE所成的角为（　　）

• A、30°
• B、45°
• C、60°
• D、75°

Answer 1

考点：异面直线及其所成的角

专题：空间角

分析：由三棱柱的六个顶点都在球O的球面上，若AB=AC=1，∠CAB=90°，球O的半径为

2

，计算侧棱长，取A₁B₁的中点F，连接DF、EF，EF∥AA₁，∠DEF即则异面直线AA₁与DE所成的角．

解答： 解：三棱柱ABC-A₁B₁C₁的侧棱与底面垂直，三棱柱的六个顶点都在球O的球面上，∠CAB=90°，∴球心O在面BCC₁B₁的中心，球O的半径为

2

，∴BC₁=2

2

，∴AB=AC=1，∠CAB=90°，∴BC

2

，CC₁=

6

，
取A₁B₁的中点F，连接DF、EF，EF∥AA₁，∠DEF即则异面直线AA₁与DE所成的角，在Rt△DEF中，EF=

1

2

AA₁=

1

2

CC₁=

6

2

，DF=

1

2

AB=

2

2

，∴tan∠DEF=

DF

EF

=

3

3

，∴，∠DEF=30°
故选A．

点评：本题考查异面直线所成的角，考查空间想象能力，计算能力．