Question

9．已知平面内互不相等的非零向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$满足|$\overrightarrow{a}$|=1，$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$与$\overrightarrow{b}$的夹角为150°，则$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$的最大值为（　　）

• A． 2
• B． $\sqrt{3}$
• C． $\frac{3}{2}$
• D． $\frac{\sqrt{3}}{2}$

Answer 1

分析 如图所示，设$\overrightarrow{OA}$=$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{b}$．则$\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OB}$=$\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}$．由于|$\overrightarrow{a}$|=1，$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$与$\overrightarrow{b}$的夹角为150°，可得△OAB中，OA=1，∠OBA=30°．由正弦定理可得：△OAB的外接圆的半径r=1．则点B为圆上与A点重合的动点．由图可令：$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{OA}$=$（\frac{1}{2}，-\frac{\sqrt{3}}{2}）$，$\overrightarrow{b}=\overrightarrow{OB}$=（1+cosθ，sinθ）．利用数量积运算性质与三角函数的单调性即可得出．

解答 解：如图所示，设$\overrightarrow{OA}$=$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{b}$．
则$\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OB}$=$\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}$．∵|$\overrightarrow{a}$|=1，$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$与$\overrightarrow{b}$的夹角为150°，
∴△OAB中，OA=1，∠OBA=180°-150°=30°．
由正弦定理可得：△OAB的外接圆的半径r=1．则点B为圆上与A点重合的动点．
由图可令：$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{OA}$=$（\frac{1}{2}，-\frac{\sqrt{3}}{2}）$，$\overrightarrow{b}=\overrightarrow{OB}$=（1+cosθ，sinθ）．
∴$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=$\frac{1}{2}+\frac{1}{2}cosθ-\frac{\sqrt{3}}{2}sinθ$=$-sin（θ-\frac{π}{6}）+\frac{1}{2}$≤$\frac{3}{2}$，当$sin（θ-\frac{π}{6}）$=-1时取等号．
∴$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$的最大值为$\frac{3}{2}$．
故选：C．

点评 本题考查了数量积运算性质、三角函数的单调性、正弦定理、三角形外接圆的性质，考查了数形结合的能力、推理能力与计算能力，属于难题．