Question

19．在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C₁：$\left\{\begin{array}{l}{x=1-t}\\{y=2t+1}\end{array}\right.$（t为参数）与曲线C₂：$\left\{\begin{array}{l}{x=2cosθ}\\{y=bsinθ}\end{array}\right.$（θ为参数，b＞0）有一个公共点在y轴，则b=3．

Answer 1

分析 曲线C₁：$\left\{\begin{array}{l}{x=1-t}\\{y=2t+1}\end{array}\right.$（t为参数），消去参数化为：2x+y-3=0．由曲线C₂：$\left\{\begin{array}{l}{x=2cosθ}\\{y=bsinθ}\end{array}\right.$（θ为参数，b＞0），利用cos²θ+sin²θ=1化为直角坐标方程．直线与曲线C₂有一个公共点在y轴，公共点为（0，3）．代入曲线C₂方程即可得出．

解答 解：曲线C₁：$\left\{\begin{array}{l}{x=1-t}\\{y=2t+1}\end{array}\right.$（t为参数），消去参数化为：2x+y-3=0．
曲线C₂：$\left\{\begin{array}{l}{x=2cosθ}\\{y=bsinθ}\end{array}\right.$（θ为参数，b＞0），化为：$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1．
∵直线与曲线C₂有一个公共点在y轴，
∴公共点为（0，3）．
代入曲线C₂方程可得：b²=9，b＞0，解得b=3．
故答案为：3．

点评 本题考查了参数方程化为直角坐标方程、曲线的交点问题，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．