Question

7．已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，离心率等于$\frac{1}{2}$，它的一个顶点恰好是抛物线x²=8$\sqrt{3}$y的焦点．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）点P（2，3），Q（2，-3）在椭圆上，A，B是椭圆上位于直线PQ两恻的动点，若直线AB的斜率为$\frac{1}{2}$，求四边形APBQ面积的最大值．

Answer 1

分析 （I）设出题意方程，它的一个顶点恰好是抛物线x²=8$\sqrt{3}$y的焦点，可求b，利用离心率为$\frac{1}{2}$，解得a即可求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）设出坐标A，B，直线AB的方程为$y=\frac{1}{2}x+t$，代入椭圆方程，整理后由得t的范围，由韦达定理得求得|x₁-x₂|，从而可求四边形APBQ的面积，即可解得当t=0，四边形APBQ面积的最大值．

解答 （本题满分12分）
解：（Ⅰ）设椭圆C的方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$（a＞b＞0），
则$b=2\sqrt{3}$．
由$\frac{c}{a}=\frac{1}{2}，{a^2}={c^2}+{b^2}$，得a=4，
∴椭圆C的方程为$\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{12}=1$．
（Ⅱ）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），直线AB的方程为$y=\frac{1}{2}x+t$，
代入$\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{12}=1$，
得x²+tx+t²-12=0，
由△＞0，解得-4＜t＜4，
由韦达定理得${x_1}+{x_2}=-t，{x_1}{x_2}={t^2}-12$．
四边形APBQ的面积$S=\frac{1}{2}×6×|{{x_1}-{x_2}}|=3\sqrt{48-3{t^2}}$，
∴当t=0，${S_{max}}=12\sqrt{3}$．

点评 本题考查椭圆的标准方程，考查向量的数量积公式，考查分类讨论的数学思想，考查学生的计算能力，考查了转化思想，属于中档题．