Question

2．已知f′（x）是奇函数f（x）的导函数，f（-1）=0，当x＞0时，xf′（x）-f（x）＞0，则使得f（x）＞0成立的x的取值范围是（　　）

• A． （-∞，-1）∪（0，1）
• B． （-1，0）∪（1，+∞）
• C． （-1，0）∪（0，1）
• D． （-∞，-1）∪（1，+∞）

Answer 1

分析 根据题意构造函数g（x）=$\frac{f（x）}{x}$，由求导公式和法则求出g′（x），结合条件判断出g′（x）的符号，即可得到函数g（x）的单调区间，根据f（x）奇函数判断出g（x）是偶函数，由f（-1）=0求出g（-1）=0，结合函数g（x）的单调性、奇偶性，再转化f（x）＞0，由单调性求出不等式成立时x的取值范围．

解答 解：由题意设g（x）=$\frac{f（x）}{x}$，则g′（x）=$\frac{x{f}^{′}（x）-f（x）}{{x}^{2}}$
∵当x＞0时，有xf′（x）-f（x）＞0，
∴当x＞0时，g′（x）＞0，
∴函数g（x）=$\frac{f（x）}{x}$在（0，+∞）上为增函数，
∵函数f（x）是奇函数，
∴g（-x）=$\frac{f（-x）}{-x}$=$\frac{-f（x）}{-x}$=$\frac{f（x）}{x}$=g（x），
∴函数g（x）为定义域上的偶函数，
g（x）在（-∞，0）上递减，
由f（-1）=0得，g（-1）=0，
∵不等式f（x）＞0?x•g（x）＞0，
∴$\left\{\begin{array}{l}{x＞0}\\{g（x）＞0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x＜0}\\{g（x）＜0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{x＞0}\\{g（x）＞g（1）}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x＜0}\\{g（x）＜g（-1）}\end{array}\right.$，
即有x＞1或-1＜x＜0，
∴使得f（x）＞0成立的x的取值范围是：（-1，0）∪（1，+∞），
故选：B．

点评 本题考查利用导数判断函数的单调性，由函数的奇偶性、单调性解不等式，考查构造函数法，转化思想和数形结合思想，属于综合题．