Question

17．将数列{a_n}按如图所示的规律排成一个三角形表，并同时满足以下两个条件：
①各行的第一个数a₁，a₂，a₅构成公差为d的等差数列；
②从第二行起，每行各数按从左到右的顺序构成公比为q的等比数列．
若a₁=1，a₃=4，a₅=3，则d=1；第n行的和T_n=n•2^2n-1-n．

Answer 1

分析 依题意，可求得d=1，又a₃=a₂q=（a₁+d）q，可求得q=2；记第n行第1个数为A，易求A=n；据此数表的排列规律可知：每行的总个数构成一个以1为首项，2为公差的等差数列，而第n行共有（2n-1）个数，第n行各数为以n为首项，q=2为公比的等比数列，于是可求得第n行各数的和T_n．

解答 解：依题意得a₅=a₁+2d，∴3=1+2d，
∴d=1．
又∵a₃=a₂q=（a₁+d）q，q=2，
∴d，q的值分别为1，2；
记第n行第1个数为A，则A=a₁+（n-1）d=n，
又根据此数表的排列规律可知：每行的总个数构成一个以1为首项，2为公差的等差数列，
∴第n行共有（2n-1）个数，
∴第n行各数为以n为首项，q=2为公比的等比数列，
因此其总数的和T_n=$\frac{n（1-{2}^{2n-1}）}{1-2}$=n•2^2n-1-n．
故答案为：1，n•2^2n-1-n；

点评 本题考查数列的求和，突出考查归纳推理，考查方程思想与运算推理能力，判断出每行的总个数构成一个以1为首项，2为公差的等差数列是关键．