Question

10．已知实数a，b，c满足a²+b²+c²=3．
（Ⅰ）求证a+b+c≤3；
（Ⅱ）求证$\frac{1}{{a}^{2}}+\frac{1}{{b}^{2}}+\frac{1}{{c}^{2}}≥3$．

Answer 1

分析 （I）由于（a+b+c）²=a²+b²+c²+2ab+2bc+2ac，利用基本不等式的性质即可证明；
（II）由于（a²+b²+c²）$（\frac{1}{{a}^{2}}+\frac{1}{{b}^{2}}+\frac{1}{{c}^{2}}）$=3+$\frac{{a}^{2}}{{b}^{2}}+\frac{{a}^{2}}{{c}^{2}}$+$\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{b}^{2}}{{c}^{2}}$+$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{c}^{2}}{{b}^{2}}$，利用基本不等式的性质即可证明．

解答 证明：（I）∵（a+b+c）²=a²+b²+c²+2ab+2bc+2ac
≤a²+b²+c²+（a²+b²）+（b²+c²）+（a²+c²）=3（a²+b²+c²）=9．
∴a+b+c≤3；
（II）∵（a²+b²+c²）$（\frac{1}{{a}^{2}}+\frac{1}{{b}^{2}}+\frac{1}{{c}^{2}}）$=3+$\frac{{a}^{2}}{{b}^{2}}+\frac{{a}^{2}}{{c}^{2}}$+$\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{b}^{2}}{{c}^{2}}$+$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{c}^{2}}{{b}^{2}}$=3+$（\frac{{a}^{2}}{{b}^{2}}+\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}）$+$（\frac{{a}^{2}}{{c}^{2}}+\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}）$+$（\frac{{b}^{2}}{{c}^{2}}+\frac{{c}^{2}}{{b}^{2}}）$≥$3+2\sqrt{\frac{{a}^{2}}{{b}^{2}}•\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}}$+2$\sqrt{\frac{{b}^{2}}{{c}^{2}}•\frac{{c}^{2}}{{b}^{2}}}$+2$\sqrt{\frac{{a}^{2}}{{c}^{2}}•\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}}$=9．当且仅当a²=b²=c²=1时取等号．
∴$\frac{1}{{a}^{2}}+\frac{1}{{b}^{2}}+\frac{1}{{c}^{2}}$≥3

点评 本题考查了基本不等式的性质，考查了变形能力、推理能力与计算能力，属于中档题．