精英家教网 > 高中数学 > 题目详情
如图:已知线段AB=4,动圆O1与线段AB相切于点C,且AC-BC=2
2
,过点A,B分别作⊙O1的切线,两切线相交于点P,且P、O1均在AB的同侧.
(Ⅰ)建立适当坐标系,当O1位置变化时,求动点P的轨迹E方程;
(Ⅱ)过点B作直线交曲线E于点M、N,求△AMN面积的最小值.
(Ⅰ)以AB为x轴,AB的垂直平分线为y轴,建立坐标系,则|PA|-|PB|=|AC|-|BC|=2
2

∴点P在以A、B为焦点双曲线上,且2c=4,2a=2
2

∴c=2,a=
2

b=
c2-a2
=
2

∴P点的轨迹E为:
x2
2
-
y2
2
=1
(x>
2
);
(Ⅱ)设M(x1,y1),N(x2,y2),直线:x=my+2代入双曲线
x2
2
-
y2
2
=1
得(m2-1)y2+4my+2=0,显然m≠±1
∵M、N在双曲线一支上,∴|m|<1.
S△AMN=
1
2
×|AB|×|y1-y2|
=2
16m2
(m2-1)2
-
8
m2-1
=2
8(m2+1)
(m2-1)2

令t=m2+1,有1≤t<2,则S△AMN=2
8t
(t-2)2
=2
8
t+
4
t
-4
在[1,2)上递增
∴当t=1,即m=0时,△AMN面积取得最小值为4
2

练习册系列答案
相关习题

科目:高中数学 来源:不详 题型:填空题

已知定点N(3,0)与以点M为圆心的圆M的方程为(x+3)2+y2=16,动点P在圆M上运动,线段PN的垂直平分线交直线MP于Q点,则动点Q的轨迹方程是______.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源:不详 题型:填空题

设x,y∈R,若向量
a
=(x,y+2)
b
=(x,y-2)
,且|
a
|-|
b
|=2
,则点M(x,y)的轨迹C的方程为______.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源:不详 题型:单选题

若△ABC的个顶点坐标A(-4,0)、B(4,0),△ABC的周长为18,则顶点C的轨迹方程为(  )
A.
x2
25
+
y2
9
=1
B.
y2
25
+
x2
9
=1
(y≠0)
C.
x2
16
+
y2
9
=1
(y≠0)
D.
x2
25
+
y2
9
=1
(y≠0)

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源:不详 题型:单选题

已知垂直竖在水平地面上相距20米的两根旗杆的高分别为10米和15米,地面上的动点P到两旗杆顶点的仰角相等,则点P的轨迹是(  )
A.椭圆B.圆C.双曲线D.抛物线

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

已知圆C:x2+(y-1)2=5,直线l:mx-y+1-m=0.
(1)判断直线l与圆C的位置关系;
(2)设l与圆C交与不同两点A、B,求弦AB的中点M的轨迹方程;
(3)若定点P(1,1)分弦AB为
AP
PB
=
1
2
,求此时直线l的方程.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

已知动圆过定点(1,0),且与直线x=-1相切.
(1)求动圆的圆心轨迹C的方程;
(2)是否存在直线l,使l过点(0,1),并与轨迹C交于P,Q两点,且满足
OP
OQ
=0
?若存在,求出直线l的方程;若不存在,说明理由.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源:不详 题型:单选题

若动点M到定点F1(0,-1)、F2(0,1)的距离之和为2,则点M的轨迹为(  )
A.椭圆B.直线F1F2
C.线段F1F2D.直线F1F2的垂直平分线

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源:不详 题型:填空题

以椭圆的焦点为顶点,以该椭圆的顶点为焦点的双曲线方程是         .

查看答案和解析>>

同步练习册答案