Question

13．设等差数列{a_n}的前n项和为S_n，若a₂与a₁₀的等差中项是-2，且a₁a₆=14    
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设f（n）=$\frac{2{S}_{n}-2{a}_{n}}{n}$（n∈N^*），求f（n）最小值及相应的n的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据等差中项的性质、等差数列的通项公式，求出a₁、公差d，代入通项公式求出a_n；
（Ⅱ）由等差数列的前n项和公式求出S_n，代入f（n）=$\frac{2{S}_{n}-2{a}_{n}}{n}$（n∈N^*），化简后，利用基本不等式求出f（n）最小值及相应的n的值．

解答 解：（Ⅰ）∵a₂与a₁₀的等差中项是-2，
∴a₆=$\frac{1}{2}$（a₂+a₁₀）=-2，
∵a₁•a₆=14，∴a₁=-7，
∴公差d=$\frac{{a}_{6}-{a}_{1}}{6-1}$=1，
则a_n=-7+（n-1）=n-8．
（Ⅱ）∵a₁=-7，a_n=n-8，
∴S_n=$\frac{1}{2}$n²-$\frac{15n}{2}$
∴$\frac{2{S}_{n}-2{a}_{n}}{n}$=$\frac{{n}^{2}-15n-2（n-8）}{n}$=n+$\frac{16}{n}$-17≥2$\sqrt{16}$-17=-9，
当且仅当n=$\frac{16}{n}$，即n=4时取等号，
故当n=4时，所求最小值为-9．

点评 本题考查等差中项的性质，等差数列的通项公式、前n项和公式，以及基本不等式的应用，属于中档题．