Question

1．设不等式4^x-m（4^x+2^x+1）≥0对于任意的x∈[0，1]恒成立，则实数m的取值范围是（-∞，$\frac{1}{3}$]．

Answer 1

分析 不等式4^x-m（4^x+2^x+1）≥0对于任意的x∈[0，1]恒成立⇒m≤$\frac{{4}^{x}}{{4}^{x}{+2}^{x}+1}$=$\frac{1}{{2}^{-2x}{+2}^{-x}+1}$（0≤x≤1）恒成立，构造函数f（x）=2^-2x+2^-x+1，利用配方法与指数函数单调性可求得f（x）_max=3，从而可得实数m的取值范围．

解答 解：∵4^x-m（4^x+2^x+1）≥0对于任意的x∈[0，1]恒成立，
∴m≤$\frac{{4}^{x}}{{4}^{x}{+2}^{x}+1}$=$\frac{1}{{2}^{-2x}{+2}^{-x}+1}$（0≤x≤1）恒成立，
令f（x）=2^-2x+2^-x+1=（2^-x+$\frac{1}{2}$）²+$\frac{3}{4}$，
∵x∈[0，1]，∴2^-x∈[$\frac{1}{2}$，1]，f（x）在区间[0，1]上单调递减，
∴f（x）_max=f（0）=3，
∴m≤$\frac{1}{3}$，
故答案为：（-∞，$\frac{1}{3}$]．

点评 本题考查函数恒成立问题，分离参数m是关键，考查配方法与指数函数单调性的应用，突出考查等价转化思想与运算求解能力，属于中档题．